Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga

Soal 1

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan dengan Un = 2^-n. Tentukan jumlah tak hingga suku-suku dari barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui : Un = 3^-n.
U1 = 3^-1.= 1/3
U2 = 3^-2 = 1/9

Diperoleh
a = 1/3
r = $\frac{1/9}{1/3}$ = 1/3

Jumlah tak hingga suku-sukunya adalah
$\begin{array}{c}S=\frac{a}{1-r}\Rightarrow S=\frac{1/3}{1-1/3}=1/2\end{array}$


Soal 2

Jika jumlah dari deret geometri tak hingga sama dengan tiga kali suku pertamanya, maka rasio deret tersebut adalah ...

Jawab :
Diketahui : S = 3a
$\begin{array}{cc}S=\frac{a}{1-r}\iff 3a& =\frac{a}{1-r}\\ 1-r& =\frac{a}{3a}\\ 1-r& =\frac{1}{3}\\ r& =\frac{2}{3}\end{array}$

Jadi, rasio deret tersebut adalah 2/3.


Soal 3

Misalkan suku pertama deret geometri tak hingga adalah a. Tentukan batas-batas nilai a agar deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.

Jawab :
Dikethaui S = 2
$\begin{array}{cc}S=\frac{a}{1-r}\iff 2& =\frac{a}{1-r}\\ a& =2(1-r)\\ a& =2-2r\\ 2r& =2-a\\ r& =\frac{2-a}{2}\end{array}$

Agar deret geometri yang dimaksud konvergen, haruslah -1 < r < 1
$\begin{array}{cc}-1& <\frac{2-a}{2}<1\left(kali2\right)\\ -2& <2-a<2\left(kurang2\right)\\ -4& <-a<0\left(kali\right(-1\left)\right)\\ 4& >a>0\\ 0& <a<4\end{array}$

Jadi, deret tersebut akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4


Soal 4

Tentukan x agar jumlah tak hingga dari deret geometri berikut sama dengan 1
$\begin{array}{c}\frac{3}{(x+3)}+\frac{6}{(x+3{)}^2}+\frac{12}{(x+3{)}^3}+...\end{array}$

Jawab :
Suku pertama deret tersebut adalah
a = $\frac{3}{(x+3)}$

Rasio dari deret tersebut adalah
r = $\frac{U_2}{U_1}$ = $\frac{2}{x+3}$

Diketahui S = 1
$\begin{array}{cc}S=\frac{a}{1-r}\iff 1& =\frac{a}{1-r}\\ 1-r& =a\\ 1& =a+r\\ 1& =\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x+3}\\ 1& =\frac{5}{x+3}\\ x+3& =5\\ x& =2\end{array}$